جذر

جذر به معنی ریشه ، پایه است و علامت آن «     » رادیکال می باشد .

در ریا ضیات « ریشه گرفتن »عکس عمل « به توان رساندن» می باشد.

 

جذر حسابی : هر عدد مثبت دو جذر دارد که یکی مثبت است و دیگری منفی 0 جذر مثبت «جذر حسابی » نامیده می شود .

 

 

عدد 5 جذر حسابی عدد 25  است و آنرا با نمایش می دهیم .«» فقط برای نمایش جذر مثبت 25 بکار می رود بنابراین می توان نوشت :

نکته : توان دوم یک عدد را مجذور یا مربع آن عدد می نامند .

محاسبه جذر :

در شکل زیر عدد 5 و 6 نمایش داده شده است با توجه به شکل می توان  گفت :

 

مربعی به مساحت 31 سانتی متر مربع را در نظر بگیرید می خواهیم اندازه ی ضلع مربع را بدست آوریم .

حل :

با توجه به اینکه  25 = 52  و 36 = 62  می توان گفت : عدد 31 بین دو مجذور 25 و 36 قرار دارد 

   6> اندازه ضلع مربع > 5

بنابراین

   6> > 5

به عبارت دیگر

یعنی جذر عدد 31 دقیق نمی باشد و مقدار تقریبی است

برای بدست آوردن مقدار تقریبی جذر عدد 31 کافی است قسمت های باقی مانده را کنار بگذاریم .

 

 

با صرف نظر کردن از مربع کوچک ایجاد شده می توان نوشت : 10 = 5 × 2 = طول مستطیل ( رنگ شده )

6 = 25 – 31 =  مساحت مستطیل (رنگ شده) 

 

 

بنابراین اندازه ی ضلع مربع که مساحت آن 31 سانتی متر مربع باشد ، تقریباً برابر است با 6/5 .

به عبارت دیگر برای محاسبه ی جذر تقریبی عدد 31 می توان به ترتیب زیر عمل کرد :  

 

 برای محاسبه ی مقدار تقریبی عدد 31 ، باقیمانده ی جذر را بر دو برابر حاصل جذر تقسیم می کنیم .

 

 

 

 

 

 

 

 

1-  اعداد منفی جذر ندارند تعریف نشده است .

با توجه به اینکه مجذور هر عدد همیشه یک عدد مثبت است می توان گفت که عدد ی وجود ندارد که مجذور آن 36- باشد .  

تعریف نشده است .

 

 

2-  جمع و تفریق رادیکالها :

 برای اینکه دو رادیکال یا چند رادیکال با هم جمع و تفریق شوند لازم است که عبارت داخل رادیکال آن هم برابر باشد .

مثال Å

 

یکی از رادیکال ها را می نویسیم ، سپس ضرایب آن ها را با هم جمع می کنیم .

بنابراین می توان گفت :

 

 

3-  ضرب و تقسیم رادیکال ها :

برای ضرب و تقسیم دو رادیکال شباهت و یکسان بودن عبارتهای داخل رادیکال لازم نمی باشد .

مثال Å                                                                                                       

یک رادیکال را می نو یسیم آنگاه مقدار داخل رادیکال را در هم ضرب می کنیم .

اگر دو رادیکال ضریب داشته باشند ، اول ضرایب آن ها را در هم ضرب می کنیم .

بنابراین می توان گفت :

 

4- اگر یک عدد مربع کامل باشد و بخواهیم جذر آن عدد را حساب کنیم ، کافی است پایه ها را نوشته و نمادها را نصف کنیم  .

مثال Åجذر عدد 900 را حساب کنید .

 

 

5- اگر یک عدد دلخواه مربع کامل باشد و بخواهیم جذر آن عدد را حساب کنیم ، کافی است ابتدا عدد مورد نظر را به عامل ها ی اول تجزیه کرده و سپس برای جذر گیری به ترتیب زیر عمل کنیم .

پایه ها را نوشته نمادها را نصف می کنیم .

مثال Å جذر عدد 19600 را بدست آورید .

حل : ابتدا عدد 19600  را به عوامل اول تجزیه می کنیم .

 

 

þ تست1 :

 حاصل  کدامیک از موارد زیر است

الف) 5 +

ب) 5 –

ج)

د)جذر ندارد

þ تست2 :

 حاصل برابر است با

الف) 117

ب) 1053

ج)

د)  

 

þ تست3 :

 حاصل عبارت برابر است با

الف)

ب)2

ج)

د )3    

þ تست4 :

 حاصل جذر زیر برابر است با  :

الف)

ب)

ج)

د)

þ تست5 :

حاصل کسر به صورت دقیق برابر است با :

الف) 23

ب) 32

ج) 2+ 23

د) 2- 32

این لینک زیری مربوط به مبحث جذره اگه می خواین دانلود کنین

http://www.persiangig.com/pages/download/?dl=http://riyazi321.persiangig.com/%d8%ac%d8%b0%d8%b1.pdf

اینم یکی دیگه هست

http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Special:Book&bookcmd=rendering&return_to=Square+root&collectionid=714d7b050a0dd2b5&writer=rl_

 

برای آغاز بحث جذر، عدد 2231 را با تقریب کم تر از "یک" بدست می آوریم.

الف) از سمت راست دو رقم دو رقم جدا می کنیم.

به این ترتیب عدد 2231 در دو جزء  دیده می شود و همین جا می توانیم تشخیص دهیم که جواب جذر 2231 دو رقمی است.

بنابراین وقتی جذر تقریبی 22 را  4 در نظر می گیریم در واقع جذر تقریبی 2200 را  با تقریب کم تر از 10 و به روش قطع کردن 40 حدس زده ایم.

بنابراین :

                                                            

ب) در مرحله بعد جواب بدست آمده"4" را در 2 ضرب می کنیم"8" و بزرگترین عددی که می توانست در قرار بگیرد تا  حاصل   × 8  بیش تر از 631 نباشد را پیدا می کردیم.

بنابراین معادل همین کار را در سمت چپ انجام دهیم.

یعنی در واقع ما عدد 40 را دو برابر می کنیم و بزرگترین عددی که می تواند به عدد80 اضافه شود تا حاصل  ×( +80 )  بیش تر از 631 نباشد را پیدا می کنیم

 

                                                

و سرانجام با صرف نظر از رقم یکان عدد 631 و تقسیم آن بر 8 عدد داخل را حدس می زدیم. لذا: درواقع جزء صحیح تقسیم 631 بر 80 را به عنوان رقم یکان پاسخ جذرمان پیشنهاد می کنیم.

در نتیجه داریم:

                            

 بنابراین پاسخ جذر  با تقریب کم تر از :یک"   47=7+40 می باشد.

اما بیایید دقت کنیم با عدد مورد نظرمان "2231" چه کردیم؟

اولا: 1600 یا 402 را از 2231 کم کردیم .

ثانیا: 7×(7+80) یا 7×(7+40×2) را نیز از 2231 کم کردیم

به عبارتی دیگر ما در مجموع  7×(7+40×2)+402     یا

                                                              72+(7×40)2 +402            

را از 2231 کم کرده ایم ومجموع 40و 7 جواب جذر و عدد 22 هم باقی ماند

از طرفی  72+(7×40)2+402بسط 2(7+40) می باشد

به عبارت دیگر در جذر گرفتن: بسط دوجمله ای a+b)2=a2+2ab+b2  )   به صورت 

 a2+(2a+b)b مورد استفاده قرار می گیرد.

بنابر آنچه گذشت: روش مطرح شده در ریاضی سوم راهنمایی برای محاسبه یک جذر جلوه ای خیره کننده از انسجام و اختصار مربع های دو جمله ای نهفته است.  

برای مثال وقتی جواب یک جذر 141 می باشد،در فرایند جذر مربع 141 اینگونه از عددی که جذز گرفته می شود کم می شود:

2[1+(40+100)]=1412

12+1(140)2+2(40+100)=

12+1(140)2+402+40(100)2+1002=

1(1+280)+40(40+200)+1002=

درنتیجه:                1(1+280)+40(40+200)+1002=1412

یعنی: در محاسبه  جذر عددی که پاسخ جذر آن 141 می باشد ابتدا، حاصل 1002 سپش حاصل 40(40+200) و بعد حاصل 1(1+280) از آن کم می شود و باقیمانده به جا می ماند

حال می خواهیم با استفاده از رابطه   a+b)2=a2+(2a+b)b ) ریشه دوم عدد 20000 را با تقریب کم تر از یک بدست آوریم

وقتی از سمت راست دو رقم دو رقم جدا می کنیم عدد 20000 در سه جزء دیده می شود پس حاصل جذر سه رقمی است و اولین عدد جواب در ارزش مکانی صدگان می نشیند.

100 را دو برابر می کنیم         200=(100)2=2a

و سعی می کنیم مقدار b را در  2a+b)b)  حدس  بزنیم.

 

 

 

البته: به این نکته دقت می کنیم که عدد درون با ارزش مکانی دهگان ظاهر خواهد شد.

بنابراین: تا اینجا جواب 140 را بدست آورده ایم و باز همین طور ادامه می دهیم

280=(140)2=2a

و بار دیگر می خواهیم مقدار b را در  2a+b)b)  پیدا کنیم.

عددی بعدی با ارزش یکان ظاهر خواهد شد پس داریم:

بنابراین جواب جذر 141 و باقیمانده 119 است.

............................تعمیم...........................

برای ریشه سوم و ریشه چهارم و . . . نیز می توان چنین فرایندی را طی کرد

a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3  =  a3+(3a2+3ab+b2)b)

a+b)4 = a4+4a3b+6a2b2+3ab3+b4 = a4+(4a3+6a2b+3ab2+b3)b)

و . . .

مثال:ریشه سوم عدد 187643 را تا یک رقم اعشار  بدست می آوریم.

رابطه مد نظر ما:   a3+(3a2+3ab+b2)b

چون می خواهیم جواب تا یک رقم اعشار بدست آید باید (1×3) سه رقم اعشار داشته باشیم و برای رشه سوم سه رقم سه رقم جدا می کنیم.

پس جواب ما دورقمی و دارای یک رقم اعشار خواهد بود  "دهم/یکان ،  دهگان"

ریشه سوم 187 بیش تر از 5 و کم تر از 6 است. البته 5 در ارزش مکانی دهگان خواهد نشست پس:

حال با توجه به a3+(3a2+3ab+b2)b مقادیر 3a2    و    3a را محاسبه می کنیم .۵۰=a

و سعی داریم: مقدار b را در  3a2+3ab+b2)b)  با ارزش مکانی یکان پیدا کنیم لذا:

در این مرحله حدس زدن عدد بعدی راحت به نظر نمی رسد و باید گزینه هایی را امتحان کرد.

ابتدا عدد 5 را قرار می دهیم داریم:

41375=5(52+5×150+7500)

که 41375 از 62643 کم تر است پس با 8 امتحان می کنیم

70112=8(82+8×150+7500)

و این جواب از 62643 بیشتر است در نتیجه 8 مناسب نیست و عدد 7 را قرار می دهیم.

60193=7(72+7×150+7500)

و 60193 از 62643 کم تر است لذا 7 عدد صحیح است.

بنابراین:

برای پیشروی در محاسبه بار دیگر مقادیر 3a2    و    3a  را محاسبه می کنیم

البته تا اینجا جواب 57 را بدست آورده ایم پس a را 57 در نظر می گیریم.

و بایستی عدد جدید را با ارزش مکانی دهم حدس بزنیم

 

بنابراین ریشه سوم 187643 تا یک روش اعشار 2/57 می باشد و باقیمانده نیز 752/493 می باشد.

در ضمن با رسم شکل نیز می توان برای نحوه محاسبه ریشه دوم و ریشه سوم اعداد به همین روش که به کمک عبارات جبری بیان شد دست یافت.

 مناسب است به این نکته نیز اشاره کنم که:اگر جذر عددی مانند A را a محاسبه کرده باشیم.  " اگر  a  عددی اعشاری باشد از ممیز آن برای این بخش از امتحان جذر صرف نظر می شود" در این صورت باقیمانده این جذر باید کم تر از  2a+1   باشد زیرا:  

a+1)2=a2+2a+1 ) بنابراین:

  a+1)2-a2=2a+1)

و یا: در محاسبه ریشه سوم باقیمانده باید از باقیمانده  a+1)3-a3 )  کم تر باشد

پس در محاسبه ریشه سوم باقیمانده : باید از مجموع (سه برابر مربع جواب بدست آمده با سه برابر جواب بدست آمده و عدد  یک ) کم تر باشد 

 

/ 2 نظر / 5 بازدید
یا سمن

اگر لطف کنید بگذارید سیو کنیم

همتا

اصلا جالب نبود[تایید]